Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $\frac{1}{e}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Passaggio 1.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, e + y = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Poiché $x, e$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{1}$ .

Passaggio 1.2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

$1$ Elenca i fattori primi di ciascun numero.

Passaggio 1.2.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.2.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1 + y = 0$

Passaggio 1.2.2.6

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x = x$

Passaggio 1.2.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ per $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{1}{e} x$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

$\frac{1}{e}$ e $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Passaggio 1.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = e \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.2.1

Moltiplica $e$ per $1$ .

$x = e$

Passaggio 1.3

Sostituisci $e$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(e, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Passaggio 3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Passaggio 3.5

Applica la regola costante.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Passaggio 3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

$\ln (| x |)]_{1}^{e}$ e $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Calcola $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Passaggio 3.6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

$e$ e $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Passaggio 3.6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Passaggio 3.6.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Passaggio 3.6.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Passaggio 3.6.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Passaggio 3.7.1.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Passaggio 3.7.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Passaggio 3.7.1.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Passaggio 3.7.1.4

Sottrai $\frac{1}{e}$ da $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- - \frac{1}{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Passaggio 3.7.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Passaggio 3.7.3

Somma $0$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $e$ e $e^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Passaggio 5.2

Sottrai $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ da $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Passaggio 5.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Passaggio 5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Passaggio 5.6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Passaggio 5.7

Applica la regola costante.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Passaggio 5.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $e^{3}$ e per $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Passaggio 5.8.1.2

Calcola $\frac{1}{e} x$ per $e^{3}$ e per $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.3.1

$\frac{1}{e}$ e $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3.2

Elimina il fattore comune di $e^{3}$ e $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.3.2.1

Scomponi $e$ da $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.3.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3.2.2.4

Dividi $e^{2}$ per $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Passaggio 5.8.1.3.3

$e$ e $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Passaggio 5.8.1.3.4

Elimina il fattore comune di $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Passaggio 5.8.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.8.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

$e^{3}$ corrisponde approssimativamente a $20.08553692$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.2

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.3

Elimina il fattore comune di $e^{3}$ e $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.3.1

Scomponi $e$ da $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.3.2.4

Dividi $e^{2}$ per $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $2$ dall'esponente.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Passaggio 5.8.3.8

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Passaggio 6