Calcolo Esempi

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $4 e^{x} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 e^{x} = 3$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 e^{x} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 e^{x} = 3$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 1.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 1.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $\ln (\frac{3}{4})$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 4$ e $\ln (\frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $4 e^{x} - 3$ da $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Passaggio 3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Passaggio 3.7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Passaggio 3.8

Applica la regola costante.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Passaggio 3.9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Calcola $e^{x}$ per $\ln (\frac{3}{4})$ e per $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Passaggio 3.9.2

Calcola $3 x$ per $\ln (\frac{3}{4})$ e per $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Passaggio 3.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Passaggio 3.9.3.2

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.5

Moltiplica $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.1.5.2

$4$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Passaggio 3.10.2

Somma $- 3$ e $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $\ln (\frac{3}{4})$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Integra per trovare l'area tra $\ln (\frac{3}{4})$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $4 e^{x} - 3$ da $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Passaggio 5.1.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Passaggio 5.1.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Passaggio 5.1.7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Passaggio 5.1.8

Applica la regola costante.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Passaggio 5.1.9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Calcola $e^{x}$ per $3$ e per $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Passaggio 5.1.9.2

Calcola $3 x$ per $3$ e per $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.9.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10.1.2.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.1.10.2

Somma $3$ e $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.2

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Passaggio 5.3

Sottrai $0$ da $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Passaggio 5.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Passaggio 5.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Passaggio 5.6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Passaggio 5.7

Applica la regola costante.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Passaggio 5.8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Calcola $e^{x}$ per $3$ e per $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Passaggio 5.8.2

Calcola $- 3 x$ per $3$ e per $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.8.3.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.9.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.9.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.9.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 5.9.2

Sottrai $9$ da $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 6

Somma le aree $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Semplifica $3 \ln (\frac{3}{4})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 6.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 6.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Passaggio 6.1.5

Semplifica $3 \ln (\frac{3}{4})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Passaggio 6.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Passaggio 6.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Passaggio 6.1.8

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Passaggio 6.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{27}{64}$ per $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $27$ per $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $64$ per $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Passaggio 6.4

Sottrai $12$ da $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Passaggio 7