Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 = 0$

Passaggio 1.2.2

Poiché $6 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $4$ e $8$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

Passaggio 3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

Passaggio 3.4

Sia $u = 8 x - 1$ . Allora $d u = 8 d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Sia $u = 8 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Differenzia $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Passaggio 3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Passaggio 3.4.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.1.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 + 0$

Passaggio 3.4.1.4.2

Somma $8$ e $0$ .

$8$

Passaggio 3.4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 8 x - 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

Passaggio 3.4.3

Semplifica.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $8$ per $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

Passaggio 3.4.3.2

Sottrai $1$ da $32$ .

$u_{lower} = 31$

Passaggio 3.4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 8 x - 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

Passaggio 3.4.5

Semplifica.

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Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

Passaggio 3.4.5.2

Sottrai $1$ da $64$ .

$u_{upper} = 63$

Passaggio 3.4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Passaggio 3.5.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

Passaggio 3.6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

$\frac{1}{8}$ e $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $8$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

Passaggio 3.9

Calcola $\ln (| u |)$ per $63$ e per $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

Passaggio 3.10.2

$\frac{3}{4}$ e $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $63$ è $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

Passaggio 3.11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $31$ è $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

Passaggio 4

Somma le aree $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica $3 \ln (\frac{63}{31})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{63}{31}$ .

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $63$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

Passaggio 4.2.3

Eleva $31$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

Passaggio 4.4

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 4.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{250047}{29791}$ .

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5