Calcolo Esempi

$a = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ come ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d h} (a) = \frac{d}{d h} (π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

Poiché $a$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $a$ rispetto a $h$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $h$ è $π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ è $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ dove $f (h) = r$ e $g (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$π (r \frac{d}{d h} [{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = r^{2} + h^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.8.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$π (r (\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.8.2.2

Sposta ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$π (r (\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.8.2.3

$\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $r^{2} + h^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{2}$ e $g (h) = r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.10

Riscrivi $\frac{d}{d h} [r]$ come $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Passaggio 4.12

Riscrivi $\frac{d}{d h} [r]$ come $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Passaggio 4.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h)) + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Passaggio 4.13.2

$\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $π$ .

$\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.3

Riordina i termini.

$(2 r r' + 2 h) \frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.4.1

Moltiplica $2 r r' + 2 h$ per $\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 r r' + 2 h) (r π)}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.4.2

Scomponi $2$ da $(2 r r' + 2 h) (r π)$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.4.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(r r' + h) (r π)}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Passaggio 4.13.5

Per scrivere $π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(r r' + h) r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(r r' r + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.2

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.7.2.1

Sposta $r$ .

$\frac{(r \cdot r r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{(r^{2} r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.4

Moltiplica ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.7.4.1

Sposta ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{2}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.5

Semplifica $π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π (r^{2} + h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + (π r^{2} + π h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π r^{2} r' + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.8

Somma $r^{2} r' π$ e $π r^{2} r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.7.8.1

Riordina $r^{2}$ e $π$ .

$\frac{π r^{2} r' + π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.7.8.2

Somma $π r^{2} r'$ e $π r^{2} r'$ .

$\frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$0 = \frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r' = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per $r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $h r π$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 π r^{2} r' + π h^{2} r' = - h r π$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $π r'$ da $2 π r^{2} r' + π h^{2} r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $π r'$ da $2 π r^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π h^{2} r' = - h r π$

Passaggio 6.2.2.2

Scomponi $π r'$ da $π h^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2} = - h r π$

Passaggio 6.2.2.3

Scomponi $π r'$ da $π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2}$ .

$π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$

Passaggio 6.2.3

Dividi per $π (2 r^{2} + h^{2})$ ciascun termine in $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi per $π (2 r^{2} + h^{2})$ ciascun termine in $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ .

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 r^{2} + h^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Dividi $r'$ per $1$ .

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Passaggio 6.2.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r' = \frac{- h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r' = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Passaggio 7

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d h}$ .

$\frac{d r}{d h} = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$