Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$ come $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})$ spostando $\frac{7}{2 \ln (x)}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Passaggio 2.2

$\frac{7}{2 \ln (x)}$ e $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $\frac{7}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Passaggio 3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Passaggio 3.1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.7

$2$ e $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\frac{2}{1 + 2 x}$ per $1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.10

Riordina i termini.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Passaggio 3.3.11

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Passaggio 3.5

$\frac{2}{2 x + 1}$ e $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 6.6

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{7 \frac{1}{2 + 0}}$

Passaggio 8.2

Somma $2$ e $0$ .

$e^{7 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 8.3

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{7}{2}}$