Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2} + x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{3 π}{2} + x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $\frac{3 π}{2}$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.5

Calcola il limite di $\cos (\frac{3 π}{2})$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + 0) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2}) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (\frac{3 π}{2} + x) - 0$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 0]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)]$ .

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Passaggio 3.5.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3 π}{2} + x$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 π}{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 π}{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 π}{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.3

Poiché $\frac{3 π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 π}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0]$ .

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + \frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.6.2

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.7

Somma $- \sin (\frac{3 π}{2} + x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x)}{1}$

Passaggio 4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{1}$

Passaggio 4.2

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{1}$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})}{1}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi $- \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} \frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.4

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 3 π + x \cdot 2)$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 3 π + lim_{x \to 0} x \cdot 2))$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $3 π$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + lim_{x \to 0} x \cdot 2))$

Passaggio 5.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 2 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 2 \cdot 0))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 0))$

Passaggio 7.2

Somma $3 π$ e $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π))$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (3 π)$ .

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Passaggio 7.3.1

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (\frac{3}{2} π)$

Passaggio 7.3.2

$\frac{3}{2}$ e $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- - 1$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$