Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Passaggio 1

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Passaggio 2

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 2.1

Calcola il limite di $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\cot (0)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Passaggio 4

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 4.1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Passaggio 4.1.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Passaggio 4.1.1.3

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Passaggio 4.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Passaggio 4.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Passaggio 4.1.3.3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 4.1.6.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Passaggio 4.1.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Passaggio 4.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ tende a $0$ .

$- 0$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 5

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$