Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{5 x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9.5

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + 0}$

Passaggio 3.11

Somma $5 e^{5 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{5 e^{5 x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (5 e^{5 x})}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (e^{5 x})}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Passaggio 9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Passaggio 12

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} 5 x}}$

Passaggio 13

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{5 ((0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0})}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Passaggio 15.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) e^{0}}$

Passaggio 15.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1 e^{0}}$

Passaggio 15.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{5 e^{0}}$

Passaggio 15.3.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1}$

Passaggio 15.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{5}$