Calcolo Esempi

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 2}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - x^{2} + 4$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ come $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$V = (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{- 2}^{2} x^{4} d x + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Passaggio 5

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 16 x]_{- 2}^{2})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2}$ e $16 x]_{- 2}^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ per $2$ e per $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Passaggio 10.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $16$ per $2$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.3

Per scrivere $32$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.4

$32$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.6.1

Moltiplica $32$ per $5$ .

$V = π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6.2

Somma $32$ e $160$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.7

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{- 32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.9

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.10

Per scrivere $- 32$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32 \cdot \frac{5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.11

$- 32$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + \frac{- 32 \cdot 5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 32 \cdot 5}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.13.1

Moltiplica $- 32$ per $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 160}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.13.2

Sottrai $160$ da $- 32$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + 1 (\frac{192}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.16

Moltiplica $\frac{192}{5}$ per $1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{192 + 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.18

Somma $192$ e $192$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.19

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.20

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Passaggio 10.2.3.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Passaggio 10.2.3.22

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Passaggio 10.2.3.23

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Passaggio 10.2.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 \frac{8 + 8}{3})$

Passaggio 10.2.3.25

Somma $8$ e $8$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{16}{3}))$

Passaggio 10.2.3.26

$- 8$ e $\frac{16}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 8 \cdot 16}{3})$

Passaggio 10.2.3.27

Moltiplica $- 8$ per $16$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 128}{3})$

Passaggio 10.2.3.28

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{384}{5} - \frac{128}{3})$

Passaggio 10.2.3.29

Per scrivere $\frac{384}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Passaggio 10.2.3.30

Per scrivere $- \frac{128}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.31

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.31.1

Moltiplica $\frac{384}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.31.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.31.3

Moltiplica $\frac{128}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Passaggio 10.2.3.31.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.32

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{384 \cdot 3 - 128 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.33

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.33.1

Moltiplica $384$ per $3$ .

$V = π (\frac{1152 - 128 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.33.2

Moltiplica $- 128$ per $5$ .

$V = π (\frac{1152 - 640}{15})$

Passaggio 10.2.3.33.3

Sottrai $640$ da $1152$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Passaggio 10.2.3.34

$π$ e $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Passaggio 10.2.3.35

Sposta $512$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{512 π}{15}$

Forma decimale:

$V = 107.23302924 \dots$

Passaggio 12