Calcolo Esempi

$y = (6 x - 5) \sqrt{8 x - 3}$ ; $x = 1$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 x - 3}$ come ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 x - 5$ e $g (x) = {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{{(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 10

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 12

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 13

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Somma $8$ e $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 14.2

$8$ e $\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(6 x - 5) \frac{8}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 14.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 15

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.1

Scomponi $2$ da $2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Passaggio 16

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 17

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 19

Moltiplica $6$ per $1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 20

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + 0)$

Passaggio 21

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 21.1

Somma $6$ e $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$

Passaggio 21.2

Sposta $6$ alla sinistra di ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 22

Semplifica.

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Passaggio 22.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 22.1.1

Moltiplica $6 x - 5$ per $\frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(6 x - 5) \cdot 4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 22.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $6 x - 5$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 22.2

Per scrivere $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 22.4.1

Scomponi $2$ da $4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.4.1.1

Scomponi $2$ da $4 (6 x - 5)$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.1.2

Scomponi $2$ da $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5) + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 (6 x) + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{2 (12 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.4

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.5

Moltiplica ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 22.4.5.1

Sposta ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{2}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.5.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{1})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.6

Semplifica $3 {(8 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x - 3))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.8

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.9

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.10

Somma $12 x$ e $24 x$ .

$\frac{2 (36 x - 10 - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.11

Sottrai $9$ da $- 10$ .

$\frac{2 (36 x - 19)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{2 (36 (1) - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1

Moltiplica $36$ per $1$ .

$\frac{2 (36 - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.1.2

Sottrai $19$ da $36$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 24.2.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 17}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3

Moltiplica $2$ per $17$ .

$\frac{34}{5^{\frac{1}{2}}}$