Calcolo Esempi

$f (x) = x - x^{- 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$1 + x^{- 2}$

Passaggio 1.1.3

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{- 2} + 1 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Passaggio 2.4

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.4.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.4.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.5

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ per $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = - x^{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.6.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.6.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.6.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.6.4

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.6.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.6.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.6.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Imposta la base in $x^{- 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x = 0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = x^{- 2} + 1$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x - x^{- 1}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $1$ per $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 1 + 1$

Passaggio 7.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f' (1) = 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Passaggio 9