Calcolo Esempi

$g (t) = t^{2} {(3 t + 9)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(3 t + 9)}^{4}$ .

$f' (t) = t^{2} \frac{d}{d t} ({(3 t + 9)}^{4}) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 3 t + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 t + 9$ .

$f' (t) = t^{2} (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (t) = t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t + 9$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t + 9$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 + 0)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} \cdot 3) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{4} (2 t)$

Passaggio 1.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di ${(3 t + 9)}^{4}$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + 2 \cdot ({(3 t + 9)}^{4} t)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ da $t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + 2 {(3 t + 9)}^{4} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ da $t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3})$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6))) + 2 {(3 t + 9)}^{4} t$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ da $2 {(3 t + 9)}^{4} t$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6))) + t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (3 t + 9))$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ da $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6)) + t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3} (3 t + 9)$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6) + 3 t + 9))$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$f' (t) = 2 \cdot (t {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6) + 3 t + 9))$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $t$ .

$f' (t) = 2 t {(3 t + 9)}^{3} (6 \cdot t + 3 t + 9)$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $6 t$ e $3 t$ .

$f' (t) = 2 t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)]$ .

$f'' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t {(3 t + 9)}^{3}$ e $g (t) = 9 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (9 t + 9) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 t + 9$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} (9 t) + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 + 0) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $9$ e $0$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} \cdot 9 + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $9$ alla sinistra di $t {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (t {(3 t + 9)}^{3}) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t \frac{d}{d t} ({(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t + 9$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.6.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.6.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3} \cdot 1))$

Passaggio 2.6.8

Moltiplica ${(3 t + 9)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f'' (t) = 18 (t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.3

Scomponi $2$ da $18 t {(3 t + 9)}^{3} + 2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Scomponi $2$ da $18 t {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$

Passaggio 2.7.3.2

Scomponi $2$ da $2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Usa il teorema binomiale.

$f'' (t) = 2 (9 t ({(3 t)}^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (3^{3} t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.3

Applica la regola del prodotto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3 (3^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.4

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.2.4.1

Sposta $3^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.4.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.2.4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2 + 1} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{3} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 27 t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.6

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9 t \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.8

Moltiplica $9$ per $9^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.2.8.1

Sposta $9^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.8.2

Moltiplica $9^{2}$ per $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.2.8.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2 + 1} t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.8.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{3} t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.9

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.2.10

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 729) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3}) + 9 t (243 t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 t (243 t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.4.4

Moltiplica $729$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.5.1

Moltiplica $t$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.5.1.1

Sposta $t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 (t^{3} t)) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.1.2

Moltiplica $t^{3}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.5.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 (t^{3} t)) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t^{3 + 1}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t^{4}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.2

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.3

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.5.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 (t^{2} t)) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.3.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.5.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 (t^{2} t)) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t^{2 + 1}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t^{3}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.4

Moltiplica $9$ per $243$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.5

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.5.5.1

Sposta $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 (t \cdot t)) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 t^{2}) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.5.6

Moltiplica $9$ per $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t {(3 t + 9)}^{2} + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.2

Riscrivi ${(3 t + 9)}^{2}$ come $(3 t + 9) (3 t + 9)$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t ((3 t + 9) (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.3

Espandi $(3 t + 9) (3 t + 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t + 9) + 9 (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 t \cdot t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.4.1.2.1

Sposta $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 (t \cdot t)) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 t^{2}) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.1.4

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.1.5

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 27 t + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.1.6

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 27 t + 81) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.4.2

Somma $27 t$ e $27 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 54 t + 81) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2}) + 9 t (54 t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 t (54 t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.6.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.6.3

Moltiplica $81$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.7.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.7.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 (t^{2} t)) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.7.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 (t^{2} t)) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t^{2 + 1}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t^{3}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.3

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.7.3.1

Sposta $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 (t \cdot t)) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.3.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 t^{2}) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.7.4

Moltiplica $9$ per $54$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.8

Usa il teorema binomiale.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + {(3 t)}^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.9.1

Applica la regola del prodotto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 3^{3} t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.3

Applica la regola del prodotto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3 (3^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.4

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.9.4.1

Sposta $3^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.4.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.9.4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2 + 1} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{3} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 27 t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.6

Moltiplica $9$ per $27$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9 t \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.8

Moltiplica $9$ per $9^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.9.8.1

Sposta $9^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.8.2

Moltiplica $9^{2}$ per $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.6.9.8.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2 + 1} t + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.8.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{3} t + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.9

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 9^{3}))$

Passaggio 2.7.4.6.9.10

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 729))$

Passaggio 2.7.4.7

Somma $81 t^{3}$ e $27 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 243 t^{2} + 729 t + 729))$

Passaggio 2.7.4.8

Somma $486 t^{2}$ e $243 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 729 t + 729 t + 729))$

Passaggio 2.7.4.9

Somma $729 t$ e $729 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 1458 t + 729))$

Passaggio 2.7.4.10

Espandi $(9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 1458 t + 729)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 t (108 t^{3}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t \cdot t^{3}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.2

Moltiplica $t$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.11.2.1

Sposta $t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 (t^{3} t)) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.2.2

Moltiplica $t^{3}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.11.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 (t^{3} t)) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t^{3 + 1}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t^{4}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.3

Moltiplica $9$ per $108$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t \cdot t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.5

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.11.5.1

Sposta $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 (t^{2} t)) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.5.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.11.5.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 (t^{2} t)) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t^{2 + 1}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t^{3}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.6

Moltiplica $9$ per $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 t \cdot t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.8

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.11.8.1

Sposta $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 (t \cdot t)) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.8.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 t^{2}) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.9

Moltiplica $9$ per $1458$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.10

Moltiplica $729$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.11

Moltiplica $108$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.12

Moltiplica $729$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.13

Moltiplica $1458$ per $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 13122 t + 9 \cdot 729)$

Passaggio 2.7.4.11.14

Moltiplica $9$ per $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 13122 t + 6561)$

Passaggio 2.7.4.12

Somma $6561 t^{3}$ e $972 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 6561 t^{2} + 13122 t + 6561)$

Passaggio 2.7.4.13

Somma $13122 t^{2}$ e $6561 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 6561 t + 13122 t + 6561)$

Passaggio 2.7.4.14

Somma $6561 t$ e $13122 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Passaggio 2.7.5

Somma $243 t^{4}$ e $972 t^{4}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Passaggio 2.7.6

Somma $2187 t^{3}$ e $7533 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Passaggio 2.7.7

Somma $6561 t^{2}$ e $19683 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 26244 t^{2} + 6561 t + 19683 t + 6561)$

Passaggio 2.7.8

Somma $6561 t$ e $19683 t$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 26244 t^{2} + 26244 t + 6561)$

Passaggio 2.7.9

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4}) + 2 (9720 t^{3}) + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Passaggio 2.7.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.10.1

Moltiplica $1215$ per $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 2 (9720 t^{3}) + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Passaggio 2.7.10.2

Moltiplica $9720$ per $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Passaggio 2.7.10.3

Moltiplica $26244$ per $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Passaggio 2.7.10.4

Moltiplica $26244$ per $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 2 \cdot 6561$

Passaggio 2.7.10.5

Moltiplica $2$ per $6561$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$

Passaggio 3

La derivata seconda di $g (t)$ rispetto a $t$ è $2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$ .

$2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$