Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Espandi $(2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{3 - 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int 2 x^{1} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$\int 2 x - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x - 3 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.7

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int 2 x - 3 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 2 x - 3 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\int 2 x - 3 + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.10

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\int 2 x - 3 + x^{- 2} d x$

Passaggio 5.11

Sposta $- 3$ .

$\int 2 x + x^{- 2} - 3 d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 3 d x$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 3 d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 3 x + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$x^{2} - \frac{1}{x} - 3 x + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} - \frac{1}{x} - 3 x + C$