Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x)$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Espandi $(3 x^{2} - x + 6) x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (3 x^{2} - x) x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 x^{2} x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 x^{2 - 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int 3 x^{0} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int 3 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.7

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int 3 - (x \cdot x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 3 - (x^{1} x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 - x^{1 - 2} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.10

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int 3 - x^{- 1} + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.11

Riordina $3$ e $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + 3 + 6 x^{- 2} d x$

Passaggio 5.12

Sposta $3$ .

$\int - x^{- 1} + 6 x^{- 2} + 3 d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Passaggio 8

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Passaggio 9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$