Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 3]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Passaggio 3.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 3)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 3)$ perché la derivata è continua su $(0, 3)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 3]$ e differenziabile su $(0, 3)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 3]$ e differenziabile su $(0, 3)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 3]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 3]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $5$ per $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

Passaggio 8.2.2

Somma $27$ e $45$ .

$f (3) = 72$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $72$ .

$72$

Passaggio 9

Risolvi $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Somma $72$ e $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $3$ e $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $72$ per $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

Passaggio 9.2

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Passaggio 9.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 9.4

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 10$ e $c = - 24$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.1.3

Somma $100$ e $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.1.4

Riscrivi $388$ come $2^{2} \cdot 97$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Passaggio 9.5.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.1.3

Somma $100$ e $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.1.4

Riscrivi $388$ come $2^{2} \cdot 97$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Passaggio 9.6.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.6.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.6.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

Passaggio 9.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

Passaggio 9.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.1.3

Somma $100$ e $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.1.4

Riscrivi $388$ come $2^{2} \cdot 97$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Passaggio 9.7.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.7.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.7.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

Passaggio 9.7.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

Passaggio 9.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 9.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$ .

C'è una tangente con $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$

Passaggio 11

C'è una tangente che si trova con $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$ .

C'è una tangente con $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$

Passaggio 12