Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 3]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = x^{3}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 3]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 3)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 3)$ perché la derivata è continua su $(0, 3)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 3]$ e differenziabile su $(0, 3)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 3]$ e differenziabile su $(0, 3)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 3]$ .

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 3]$ .

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = 27$

Passaggio 8.2.2

La risposta finale è $27$ .

$27$

Passaggio 9

Risolvi $3 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $3 x^{2} = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} = \frac{27 + 0}{(3) - (0)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 x^{2} = \frac{27 + 0}{3 + 0}$

Passaggio 9.1.3

Riduci l'espressione $\frac{27 + 0}{3 + 0}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$3 x^{2} = \frac{3 (9) + 0}{3 + 0}$

Passaggio 9.1.3.2

Scomponi $3$ da $0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot 9 + 3 \cdot 0}{3 + 0}$

Passaggio 9.1.3.3

Scomponi $3$ da $3 \cdot 9 + 3 \cdot 0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 + 0}$

Passaggio 9.1.3.4

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 (1) + 0}$

Passaggio 9.1.3.5

Scomponi $3$ da $0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.3.6

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1 + 3 \cdot 0$ .

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot (1 + 0)}$

Passaggio 9.1.3.7

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot (1 + 0)}$

Passaggio 9.1.3.8

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} = \frac{9 + 0}{1 + 0}$

Passaggio 9.1.4

Somma $9$ e $0$ .

$3 x^{2} = \frac{9}{1 + 0}$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$3 x^{2} = \frac{9}{1}$

Passaggio 9.1.6

Dividi $9$ per $1$ .

$3 x^{2} = 9$

Passaggio 9.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 9$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{3}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Dividi $9$ per $3$ .

$x^{2} = 3$

Passaggio 9.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 9.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 9.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 9.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \sqrt{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$ .

C'è una tangente con $x = \sqrt{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$

Passaggio 11

C'è una tangente che si trova con $x = - \sqrt{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$ .

C'è una tangente con $x = - \sqrt{3}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 3$

Passaggio 12