Calcolo Esempi

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Passaggio 6

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $\sin (x)$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Passaggio 7.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Passaggio 7.3.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Passaggio 7.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Passaggio 8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Passaggio 8.2

Riscrivi $\frac{π + π}{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $π$ e $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Passaggio 8.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riduci l'espressione $\frac{2 π}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Passaggio 8.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Passaggio 8.2.2.2

Dividi $π$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{π}$ e $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Passaggio 9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Passaggio 10