Calcolo Esempi

$\sqrt{x^{2} + 2} - x$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{x^{2} + 2} - x$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} - x$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x^{2} + 2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} + 2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 2}$ come ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.11

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.13

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.14

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.15

Sposta ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.16

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.2.17

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (2))))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.7

Moltiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.13

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (2 x)))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.14

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x))}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.15

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x)}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.16

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.17

Sposta ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.18

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.19

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.20

$\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.21

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.22

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.23

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.24

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.25

Per scrivere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.27

Moltiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.27.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.27.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.27.3

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.27.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.28

Semplifica ${(x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.29

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.30

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.31

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.31.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.31.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.31.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.31.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.32

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.33

Riscrivi $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.34

Moltiplica $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.35

Moltiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.35.1

Moltiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.35.1.1

Eleva $x^{2} + 2$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.35.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.35.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.35.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.2.35.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} - x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 2 \geq 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq - 2$

Passaggio 3.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 3.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Il grafico è una funzione convessa perché la derivata seconda è positiva.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 5