Calcolo Esempi

$e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- 0.5 x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 0.5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})$

Passaggio 2.1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 0.5 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))$

Passaggio 2.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.5$ .

$f' (x) = e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$

Passaggio 2.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- 0.5 x^{2}} (- x)$ .

$f' (x) = - e^{- 0.5 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.1.3.2

Riordina i fattori in $- e^{- 0.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - x e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{- 0.5 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- 0.5 x^{2}})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 0.5$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (x \cdot x (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (x \cdot x (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - (x^{1 + 1} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.8.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.8.3

Riscrivi $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ come $- e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.1.2.10

Moltiplica $e^{- 0.5 x^{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}})$

Passaggio 2.1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}})) - e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}})) - e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11.4

Riordina i fattori in $e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $e^{- 0.5 x^{2}}$ da $x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Scomponi $e^{- 0.5 x^{2}}$ da $x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scomponi $e^{- 0.5 x^{2}}$ da $- e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi $e^{- 0.5 x^{2}}$ da $e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot - 1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- 0.5 x^{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $e^{- 0.5 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $e^{- 0.5 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Risolvi $e^{- 0.5 x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 0.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 2.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- 0.5 x^{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}} - e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}} - e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 0.5 \cdot 16} - e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $16$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

$16$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 0.5 {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.6

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 0.5 \cdot 16}$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $- 0.5$ per $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

Passaggio 5.2.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{15}{e^{8}}$ .

$\frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0.5 {(0)}^{2}} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0.5 \cdot 0} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 0.5$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

Passaggio 6.2.1.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 1, 1)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- 0.5 {(4)}^{2}} - e^{- 0.5 {(4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 0.5 {(4)}^{2}} - e^{- 0.5 {(4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 0.5 \cdot 16} - e^{- 0.5 {(4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $16$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- 0.5 {(4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- 0.5 {(4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

$16$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 0.5 {(4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 0.5 \cdot 16}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $- 0.5$ per $16$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

Passaggio 7.2.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{15}{e^{8}}$ .

$\frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9