Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - 1 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 1$

Passaggio 1.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 1.2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 1.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1)$

Passaggio 1.2.5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $e^{x} - x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$e^{0} - (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 - (0)$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $0$ da $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 1)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$e^{- 2} - (- 2)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$e^{2} - (2)$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{2} - 2$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2, e^{2} - 2)$

Minimo assoluto: $(0, 1)$

Passaggio 4