Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 4$ , $y = 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 4 = 2$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 4 = 2$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2 + 4$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $2$ e $4$ .

$x^{2} = 6$

Passaggio 1.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{6}$

Passaggio 1.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{6}$

Passaggio 1.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{6}$

Passaggio 1.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $\sqrt{6}$ a $x$ .

$y = 2$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 d x - \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} - 4 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - (x^{2} - 4) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 - x^{2} - - 4$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$2 - x^{2} + 4$

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - x^{2} + 4 d x$

Passaggio 3.3

Somma $2$ e $4$ .

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} + 6 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Passaggio 3.8

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.9.1.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $\sqrt{6}$ e per $- \sqrt{6}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Passaggio 3.9.1.2

Calcola $6 x$ per $\sqrt{6}$ e per $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{3}$ come $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{6}))}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.4

Applica la regola del prodotto a $- (\sqrt{6})$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{3}$ come $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{6^{3}}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.7

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - - \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + 1 \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{216}}{3}$ per $1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{216} + \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.12

Somma $\sqrt{216}$ e $\sqrt{216}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Passaggio 3.9.1.3.13

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.1.3.14

Somma $6 \sqrt{6}$ e $6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica.

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Passaggio 3.9.2.1

Riscrivi $216$ come $6^{2} \cdot 6$ .

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Passaggio 3.9.2.1.1

Scomponi $36$ da $216$ .

$- \frac{2 \sqrt{36 (6)}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.1.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{2 (6 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{12 \sqrt{6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.4

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

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Passaggio 3.9.2.4.1

Scomponi $3$ da $12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.9.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 (1)} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 \sqrt{6}}{1} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.4.2.4

Dividi $4 \sqrt{6}$ per $1$ .

$- (4 \sqrt{6}) + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6}$

Passaggio 3.9.2.6

Somma $- 4 \sqrt{6}$ e $12 \sqrt{6}$ .

$8 \sqrt{6}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$8 \sqrt{6}$

Forma decimale:

$19.59591794 \dots$

Passaggio 5