Calcolo Esempi

$y = {(x - 2)}^{2}$ , $y = x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

${(x - 2)}^{2} = x$

Passaggio 1.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(x - 2)}^{2} - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x - 2) - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 2) - 2 (x - 2) - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4 - x = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Sottrai $x$ da $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2} - 5 x + 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $4$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x$

Passaggio 1.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 4, 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$y = 4$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 4$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = 1$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 1$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 4)$

$(1, 1)$

$(4, 4)$

$(1, 1)$

Passaggio 2

Semplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = (x - 2) (x - 2)$

Passaggio 2.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y = x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{4} x d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 4 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $1$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{4} x - (x^{2} - 4 x + 4) d x$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x - x^{2} + 4 x - 4$

$\int_{1}^{4} x - x^{2} + 4 x - 4 d x$

Passaggio 4.3

Somma $x$ e $4 x$ .

$\int_{1}^{4} - x^{2} + 5 x - 4 d x$

Passaggio 4.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 4.11

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Passaggio 4.12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $1$ .

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Passaggio 4.12.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $1$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Passaggio 4.12.3

Calcola $- 4 x$ per $4$ e per $1$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{64 - 1}{3} + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.4

Sottrai $1$ da $64$ .

$- \frac{63}{3} + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.5

Elimina il fattore comune di $63$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.5.1

Scomponi $3$ da $63$ .

$- \frac{3 \cdot 21}{3} + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{21}{1} + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.5.2.4

Dividi $21$ per $1$ .

$- 1 \cdot 21 + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.6

Moltiplica $- 1$ per $21$ .

$- 21 + 5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.7

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 21 + 5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.8

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.8.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- 21 + 5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 21 + 5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 21 + 5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 21 + 5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.8.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- 21 + 5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 21 + 5 (8 - \frac{1}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.10

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 21 + 5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.11

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 21 + 5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 21 + 5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.13.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$- 21 + 5 \frac{16 - 1}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.13.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$- 21 + 5 (\frac{15}{2}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.14

$5$ e $\frac{15}{2}$ .

$- 21 + \frac{5 \cdot 15}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.15

Moltiplica $5$ per $15$ .

$- 21 + \frac{75}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.16

Per scrivere $- 21$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 21 \cdot \frac{2}{2} + \frac{75}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.17

$- 21$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 21 \cdot 2}{2} + \frac{75}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 21 \cdot 2 + 75}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.19.1

Moltiplica $- 21$ per $2$ .

$\frac{- 42 + 75}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.19.2

Somma $- 42$ e $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.20

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.21

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

Passaggio 4.12.4.22

Somma $- 16$ e $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

Passaggio 4.12.4.23

Per scrivere $- 12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.12.4.24

$- 12$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.12.4.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.12.4.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.26.1

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

Passaggio 4.12.4.26.2

Sottrai $24$ da $33$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 5