Calcolo Esempi

$x = y^{2}$ , $x - y = 30$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $y^{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $x - y = 30$ con $y^{2}$ .

$(y^{2}) - y = 30$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ in $y^{2} - y = 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $30$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - 30 = 0$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y^{2} - y - 30$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 30$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 6, 5$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6$

$x = y^{2}$

$y = 6$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $y + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $y + 5$ uguale a $0$ .

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 5$

$x = y^{2}$

$y = - 5$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 6) (y + 5) = 0$ vera.

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $6$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = y^{2}$ con $6$ .

$x = {(6)}^{2}$

$y = 6$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- 5$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = y^{2}$ con $- 5$ .

$x = {(- 5)}^{2}$

$y = - 5$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

Passaggio 2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 30 + y$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 5}^{6} 30 + y d y - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 5$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - (y^{2}) d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $y^{2}$ .

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - y^{2} d y$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 5}^{6} 30 d y + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Passaggio 4.4

Applica la regola costante.

$30 y]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Passaggio 4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

Passaggio 4.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

Passaggio 4.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

$30 y]_{- 5}^{6}$ e $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

Passaggio 4.8.1.2

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

Passaggio 4.8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Calcola $30 y + \frac{1}{2} y^{2}$ per $6$ e per $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

Passaggio 4.8.2.2

Calcola $\frac{y^{3}}{3}$ per $6$ e per $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.1

Moltiplica $30$ per $6$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$180 + \frac{36}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.4

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.4.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$180 + \frac{18}{1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.4.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$180 + 18 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.5

Somma $180$ e $18$ .

$198 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.6

Moltiplica $30$ per $- 5$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.7

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} \cdot 25) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.8

$\frac{1}{2}$ e $25$ .

$198 - (- 150 + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.9

Per scrivere $- 150$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$198 - (- 150 \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.10

$- 150$ e $\frac{2}{2}$ .

$198 - (\frac{- 150 \cdot 2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$198 - \frac{- 150 \cdot 2 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.12.1

Moltiplica $- 150$ per $2$ .

$198 - \frac{- 300 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.12.2

Somma $- 300$ e $25$ .

$198 - \frac{- 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$198 - - \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$198 + 1 (\frac{275}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.15

Moltiplica $\frac{275}{2}$ per $1$ .

$198 + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.16

Per scrivere $198$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$198 \cdot \frac{2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.17

$198$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{198 \cdot 2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{198 \cdot 2 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.19.1

Moltiplica $198$ per $2$ .

$\frac{396 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.19.2

Somma $396$ e $275$ .

$\frac{671}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.20

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.21

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.21.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.21.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.21.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.21.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.21.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{671}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.21.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.22

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{- 125}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.23

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{671}{2} - (72 - - \frac{125}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.24

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + 1 (\frac{125}{3}))$

Passaggio 4.8.2.3.25

Moltiplica $\frac{125}{3}$ per $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + \frac{125}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.26

Per scrivere $72$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.27

$72$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{125}{3})$

Passaggio 4.8.2.3.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{671}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 125}{3}$

Passaggio 4.8.2.3.29

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.29.1

Moltiplica $72$ per $3$ .

$\frac{671}{2} - \frac{216 + 125}{3}$

Passaggio 4.8.2.3.29.2

Somma $216$ e $125$ .

$\frac{671}{2} - \frac{341}{3}$

Passaggio 4.8.2.3.30

Per scrivere $\frac{671}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3}$

Passaggio 4.8.2.3.31

Per scrivere $- \frac{341}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.8.2.3.32

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.32.1

Moltiplica $\frac{671}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.8.2.3.32.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.8.2.3.32.3

Moltiplica $\frac{341}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.8.2.3.32.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{6}$

Passaggio 4.8.2.3.33

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{671 \cdot 3 - 341 \cdot 2}{6}$

Passaggio 4.8.2.3.34

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.3.34.1

Moltiplica $671$ per $3$ .

$\frac{2013 - 341 \cdot 2}{6}$

Passaggio 4.8.2.3.34.2

Moltiplica $- 341$ per $2$ .

$\frac{2013 - 682}{6}$

Passaggio 4.8.2.3.34.3

Sottrai $682$ da $2013$ .

$\frac{1331}{6}$

Passaggio 5