Calcolo Esempi

$e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 1.1.4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Passaggio 1.1.4.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Fattorizza $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} \cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $e^{- x}$ da $- e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ .

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $\cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.5.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.5.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 2.5.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 2.5.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 2.5.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 2.5.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 2.5.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.5.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.5.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{- x} \sin (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{π}{4}$ .

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

$e^{- \frac{π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta $e^{- \frac{π}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\frac{5 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3

$e^{- \frac{5 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.4

Sposta $e^{- \frac{5 π}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{9 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $\frac{9 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.3.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

$e^{- \frac{9 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.4

Sposta $e^{- \frac{9 π}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{13 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $x$ per $\frac{13 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

Passaggio 4.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.4.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.4.2.4

$e^{- \frac{13 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.4.2.5

Sposta $e^{- \frac{13 π}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{17 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $x$ per $\frac{17 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

Passaggio 4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.5.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5.2.3

$e^{- \frac{17 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5.2.4

Sposta $e^{- \frac{17 π}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

Passaggio 4.6

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

Passaggio 5