Calcolo Esempi

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.10

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.1.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.1.4.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.4.6

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Passaggio 1.1.1.4.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Passaggio 1.1.1.4.6.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Passaggio 1.1.1.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.4.1

Sottrai $\frac{1}{x^{2}}$ da $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.2

$- 14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.4

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.1.5.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.2.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{14}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.3.8

Moltiplica $- 3$ per $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 1.1.2.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Passaggio 1.1.2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Passaggio 1.1.2.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 1.1.2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 1.1.2.4.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 1.1.2.4.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 1.1.2.4.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 1.1.2.4.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 1.1.2.4.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 1.1.2.4.8

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 1.1.2.5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 1.1.2.5.4.2

$42$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 1.1.2.5.4.3

$12$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Passaggio 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Passaggio 1.2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.2.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.2.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.2.2.6

I fattori di $x^{3}$ sono $x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $3$ volte.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 1.2.2.7

I fattori di $x^{4}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 1.2.2.8

I fattori di $x^{5}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $5$ volte.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $5$ volte.

Passaggio 1.2.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10

Semplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Passaggio 1.2.2.10.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.4.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.10.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Passaggio 1.2.2.10.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4 + 1}$

Passaggio 1.2.2.10.4.2

Somma $4$ e $1$ .

$x^{5}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $x^{5}$ ciascun termine in $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ per $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Passaggio 1.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.2

Scomponi $2$ da $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.3

Scomponi $2$ da $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2} + 21 x + 6$ per $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.4.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 21$ e $c = 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1.1

Eleva $21$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.5.1.3

Sottrai $24$ da $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1.1

Eleva $21$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.1.3

Sottrai $24$ da $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.4

Riscrivi $- 21$ come $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1.1

Eleva $21$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.7.1.3

Sottrai $24$ da $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.7.4

Riscrivi $- 21$ come $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.7.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Passaggio 1.2.4.7.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Passaggio 1.2.4.7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 1.2.4.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.2

Imposta il denominatore in $\frac{7}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 2.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 23$ nell'espressione.

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 23$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 23$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $- 23$ alla potenza di $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{- 12167}$ per $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{- 12167}$ per $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $\frac{42}{279841}$ per $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $\frac{42}{279841}$ per $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica $\frac{12}{- 6436343}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.1.9

Moltiplica $\frac{12}{- 6436343}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.1.10

Moltiplica $- 12167$ per $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.1.11

Riordina i fattori di $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.1.12

Moltiplica $23$ per $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.1.13

Moltiplica $- 6436343$ per $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $42$ per $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 1058$ e $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $12$ da $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Passaggio 4.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ perché $f'' (- 23)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{- 27}$ per $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{- 27}$ per $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $\frac{42}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $\frac{42}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica $\frac{12}{- 243}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $\frac{12}{- 243}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.1.10

Moltiplica $- 27$ per $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.1.11

Riordina i fattori di $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.1.12

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.1.13

Moltiplica $- 243$ per $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Passaggio 5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $42$ per $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Passaggio 5.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 18$ e $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $12$ da $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $96$ e $243$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $3$ da $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.2.1

Scomponi $3$ da $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Passaggio 5.2.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Passaggio 5.2.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ perché $f'' (- 3)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.14$ nell'espressione.

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.14$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $2$ per $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.14$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Passaggio 6.2.1.4

Dividi $42$ per $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 0.14$ alla potenza di $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Passaggio 6.2.1.6

Dividi $12$ per $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 728.86297376$ e $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $223121.31849824$ da $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ perché $f'' (- 0.14)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{8}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{8}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $\frac{42}{16}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $\frac{42}{16}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.8

Riordina i fattori di $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.10

Riordina i fattori di $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Passaggio 7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $42$ per $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Passaggio 7.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Somma $8$ e $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Passaggio 7.2.4.2

Somma $92$ e $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Passaggio 7.2.4.3

Elimina il fattore comune di $104$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.1

Scomponi $8$ da $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Passaggio 7.2.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.2.1

Scomponi $8$ da $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9