Calcolo Esempi

${(6 (\cos (60 °) + i \sin (60 °)))}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Il valore esatto di $\cos (60 °)$ è $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \sin (60 °)))}^{3}$

Passaggio 1.1.2

Il valore esatto di $\sin (60 °)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Passaggio 1.1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Passaggio 1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(6 (\frac{1}{2}) + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

${(2 (3) \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

${(3 + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

${(3 + 2 (3) \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

${(3 + 2 \cdot 3 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

${(3 + 3 (i \sqrt{3}))}^{3}$

Passaggio 2

Usa il teorema binomiale.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 + 3^{1 + 2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$27 + 3^{3} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $3^{3}$ per $3$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sposta $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $3$ per $3^{3}$ .

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Passaggio 3.1.3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 + 3^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.3.3

Somma $1$ e $3$ .

$27 + 3^{4} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$27 + 81 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 ({(3 i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (3^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.8

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.9

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{1}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.10.5

Calcola l'esponente.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.11

Moltiplica $9 (- 9 \cdot 3)$ .

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Passaggio 3.1.11.1

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 \cdot - 27 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.11.2

Moltiplica $9$ per $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 3.1.12

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1.12.1

Applica la regola del prodotto a $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 3^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.13

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.14

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.15

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.16

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- i) {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.17

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 3.1.18

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{3}}$

Passaggio 3.1.19

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{27}$

Passaggio 3.1.20

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 3.1.20.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{9 (3)}$

Passaggio 3.1.20.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.21

Estrai i termini dal radicale.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i (3 \sqrt{3})$

Passaggio 3.1.22

Moltiplica $3$ per $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 81 i \sqrt{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $243$ da $27$ .

$81 i \sqrt{3} - 216 - 81 i \sqrt{3}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $81 i \sqrt{3}$ da $81 i \sqrt{3}$ .

$0 - 216$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $216$ da $0$ .

$- 216$