Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Passaggio 1.1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Passaggio 1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x} \cdot 1)$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x})$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (5 e^{x}) + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Passaggio 1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Passaggio 1.6.2.2

$\frac{5}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Passaggio 1.6.2.3

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5}{2} e^{- x}$

Passaggio 1.6.2.4

$\frac{- 5}{2}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 1.6.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- x}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 e^{x}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 e^{x}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- x}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5 e^{- x}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (- e^{- x})$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + 1 (\frac{5}{2}) \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{5}{2} \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.3.10

$\frac{5}{2}$ e $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 2.4

$\frac{5}{2}$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 e^{x} + 5 e^{- x})$

Passaggio 4.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (5 e^{x}) + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Passaggio 4.1.1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Passaggio 4.1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} (e^{- x}))$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)))$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)))$

Passaggio 4.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)))$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x} \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 4.1.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.5.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x})$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x}) + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Passaggio 4.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Passaggio 4.1.6.2.2

$\frac{5}{2}$ e $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Passaggio 4.1.6.2.3

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot e^{- x}$

Passaggio 4.1.6.2.4

$\frac{- 5}{2}$ e $e^{- x}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 4.1.6.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta $- \frac{5 e^{- x}}{2}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$\frac{5 e^{x}}{2} = \frac{5 e^{- x}}{2}$

Passaggio 5.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$5 e^{x} = 5 e^{- x}$

Passaggio 5.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5 e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Passaggio 5.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\ln (5 e^{x})$ come $\ln (5) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Passaggio 5.5.2

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (5) + x \ln (e) = \ln (5 e^{- x})$

Passaggio 5.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (5) + x \cdot 1 = \ln (5 e^{- x})$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5 e^{- x})$

Passaggio 5.6

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi $\ln (5 e^{- x})$ come $\ln (5) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) + \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.6.2

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \ln (e)$

Passaggio 5.6.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \cdot 1$

Passaggio 5.6.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x$

Passaggio 5.7

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (5) - \ln (5) = - x - x$

Passaggio 5.8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{5}) = - x - x$

Passaggio 5.9

Dividi $5$ per $5$ .

$\ln (1) = - x - x$

Passaggio 5.10

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 = - x - x$

Passaggio 5.11

Sottrai $x$ da $- x$ .

$0 = - 2 x$

Passaggio 5.12

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 2 x = 0$

Passaggio 5.13

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 0$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 5.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 5.13.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 5.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{5 e^{0}}{2} + \frac{5 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 e^{0} + 5 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 + 5 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{5 + 5 e^{0}}{2}$

Passaggio 9.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{5 + 5 \cdot 1}{2}$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 + 5}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Somma $5$ e $5$ .

$\frac{10}{2}$

Passaggio 9.3.2

Dividi $10$ per $2$ .

$5$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{5 e^{0} + 5 e^{- (0)}}{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Scomponi $5$ da $5 e^{0} + 5 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{5 (e^{0} + e^{- (0)})}{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + e^{- (0)})}{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + e^{0})}{2}$

Passaggio 11.2.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + 1)}{2}$

Passaggio 11.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{5 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (0) = \frac{10}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Dividi $10$ per $2$ .

$f (0) = 5$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 5)$ è un minimo locale

Passaggio 13