Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{3}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.8

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2 {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.9

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{3}{7}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.11

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{6}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (2)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Scomponi $3$ da $21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (2)}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 2.16

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Passaggio 2.17

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Passaggio 2.17.2

$2$ e $\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 2.17.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 2.17.4

$\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{4}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.9.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.9.3

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.12

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.13.3

$- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.17

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.19

Per scrivere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.20

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.22

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.1

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.22.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.22.4

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.22.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 9) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.23

Semplifica ${(x^{2} - 9)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 9) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.24

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.25

Riscrivi $\frac{\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.26

Moltiplica $\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.27

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.27.1

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 3.27.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 3.27.4

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.28

Moltiplica $\frac{4}{7}$ per $\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2})}{7 (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 3.29

Moltiplica $3$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 9 - 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 9) + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.3.1.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 9) + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.3.1.2

Moltiplica $4 (3 \cdot - 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 27 + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 108 + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 108 - 8 x^{2}}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.3.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 108}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 108}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.4.2

Scomponi $4$ da $- 108$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 27}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.30.4.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot - 27$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 27)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $\frac{3}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.8

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.9

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Passaggio 5.1.10

Moltiplica $\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{3}{7}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.11

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.11.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.13.1

Scomponi $3$ da $21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Passaggio 5.1.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Passaggio 5.1.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Passaggio 5.1.16

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 5.1.17

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.17.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.1.17.2

$2$ e $\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Passaggio 5.1.17.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Passaggio 5.1.17.4

$\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 6.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{{(x^{2} - 9)}^{1}}}$

Passaggio 7.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{x^{2} - 9}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{x^{2} - 9}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$7 \sqrt[3]{x^{2} - 9} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(7 \sqrt[3]{x^{2} - 9})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$7^{3} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$343 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$343 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$343 {(x^{2} - 9)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.4

Semplifica.

$343 (x^{2} - 9) = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$343 x^{2} + 343 \cdot - 9 = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.6

Moltiplica $343$ per $- 9$ .

$343 x^{2} - 3087 = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$343 x^{2} - 3087 = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Somma $3087$ a entrambi i lati dell'equazione.

$343 x^{2} = 3087$

Passaggio 7.3.3.2

Dividi per $343$ ciascun termine in $343 x^{2} = 3087$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Dividi per $343$ ciascun termine in $343 x^{2} = 3087$ .

$\frac{343 x^{2}}{343} = \frac{3087}{343}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $343$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{343 x^{2}}{343} = \frac{3087}{343}$

Passaggio 7.3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3087}{343}$

Passaggio 7.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.3.1

Dividi $3087$ per $343$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 7.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 7.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 7.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 7.3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 7.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 7.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 3, 3$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 27)}{21 {({(0)}^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 (0 - 27)}{21 {(0^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.2

Sottrai $27$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(0^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(0 - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$\frac{- 108}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $3$ da $- 108$ .

$\frac{3 (- 36)}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi $3$ da $21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 36)}{3 (7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 (7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 10.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 36}{7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{36}{7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {({(0)}^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {(0 - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2.1.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {(- 9)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12.2.2

$\frac{3}{7}$ e ${(- 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $\frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ .

$y = \frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 {({(- 3)}^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 {(9 - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{4}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $21$ per $0$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 6$ , dall'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = \frac{4 (- 6)}{7 {({(- 6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 {({(- 6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 {(36 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Sottrai $9$ da $36$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 27^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 15.2.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 15.2.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{21}$

Passaggio 15.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $- 24$ .

$f' (- 6) = \frac{3 (- 8)}{21}$

Passaggio 15.2.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$f' (- 6) = \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 7}$

Passaggio 15.2.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 6) = \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 7}$

Passaggio 15.2.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 6) = \frac{- 8}{7}$

Passaggio 15.2.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 6) = - \frac{8}{7}$

Passaggio 15.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{7}$ .

$- \frac{8}{7}$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{7 {({(- 2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {({(- 2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {(4 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, 3)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{7 {({(2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(2^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(4 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $\frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \frac{4 (6)}{7 {({(6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 {(6^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 {(36 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.2.2

Sottrai $9$ da $36$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 27^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.2.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.5.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 15.5.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 15.5.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3}$

Passaggio 15.5.2.2.6

Calcola l'esponente.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3}$

Passaggio 15.5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.3.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f' (6) = \frac{24}{21}$

Passaggio 15.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $24$ e $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$f' (6) = \frac{3 (8)}{21}$

Passaggio 15.5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$f' (6) = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 7}$

Passaggio 15.5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (6) = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 7}$

Passaggio 15.5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (6) = \frac{8}{7}$

Passaggio 15.5.2.4

La risposta finale è $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 3$ , allora $x = - 3$ è un minimo locale.

$x = - 3$ è un minimo locale

Passaggio 15.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 3$ , allora $x = 3$ è un minimo locale.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 15.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 3$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 3$ è un minimo locale

$x = - 3$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 16