Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $- x^{4} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $4 x^{3} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ .

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $- x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 4$ .

$0, 4$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{4} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{5} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

$f' (- 1) = - 1 e + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.5

Riscrivi $- 1 e$ come $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - e + 4 \cdot (- 1 e^{- (- 1)})$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 4 e^{- (- 1)}$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 4 e$

Passaggio 5.2.1.9

Semplifica.

$f' (- 1) = - e - 4 e$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4 e$ da $- e$ .

$f' (- 1) = - 5 e$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 5 e$ .

$- 5 e$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 5 e$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.5

$- 16$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 6.2.1.11

$32$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 16$ e $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $\frac{16}{e^{2}}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 4)$ .

Crescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - {(5)}^{4} e^{- (5)} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f' (5) = - 1 \cdot (625 e^{- (5)}) + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $625$ .

$f' (5) = - 625 e^{- (5)} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (5) = - 625 e^{- 5} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5) = - 625 \frac{1}{e^{5}} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.5

$- 625$ e $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (5) = \frac{- 625}{e^{5}} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 4 \cdot (125 e^{- (5)})$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $4$ per $125$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 500 e^{- (5)}$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 500 e^{- 5}$

Passaggio 7.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 500 (\frac{1}{e^{5}})$

Passaggio 7.2.1.11

$500$ e $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + \frac{500}{e^{5}}$

Passaggio 7.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{- 625 + 500}{e^{5}}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Somma $- 625$ e $500$ .

$f' (5) = \frac{- 125}{e^{5}}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (5) = - \frac{125}{e^{5}}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- \frac{125}{e^{5}}$ .

$- \frac{125}{e^{5}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- \frac{125}{e^{5}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 4)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Passaggio 9