Calcolo Esempi

$y = \sin (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 1.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.7

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Sostituisci $π n$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = π n$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{3}} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $\frac{π}{3}$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x$

Passaggio 3.3

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Passaggio 3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.4.1

Calcola $- \cos (x)$ per $\frac{π}{3}$ e per $0$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} + 1$

Passaggio 3.4.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 3.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Passaggio 3.4.2.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4