Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[- 2, 2]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2} + 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 1.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 1.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 1.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 1.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Riordina $x^{2}$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Passaggio 5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ per $2$ e per $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Passaggio 7.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Passaggio 7.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Passaggio 7.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Passaggio 7.2.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Passaggio 7.3.2.2

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 7.3.2.3

Moltiplica $- - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Passaggio 7.3.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 7.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Passaggio 7.3.4

Somma $π$ e $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Passaggio 7.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Passaggio 7.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Passaggio 7.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Passaggio 7.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 7.3.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 8

Somma $2$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Passaggio 10