Calcolo Esempi

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${t | t \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (t)$ è continua su $[0, 7]$ .

$f (t)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

Passaggio 5

Sia $u = - t^{2}$ . Allora $d u = - 2 t d t$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 t)$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 t$

Passaggio 5.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = - t^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = - t^{2}$ .

$u_{upper} = - 7^{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$u_{upper} = - 49$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $e^{u}$ per $- 49$ e per $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\frac{1}{e^{49}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 11.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Passaggio 12.2

Somma $7$ e $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 15

Moltiplica $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

Passaggio 16