Calcolo Esempi

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ come funzione.

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = - (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 2.1.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 2.1.1.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.4.1

$2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x$

Passaggio 2.1.1.3.4.2

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.4.3.2

Dividi $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ per $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Passaggio 2.1.1.3.4.4

Riordina i fattori in $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$f' (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.7.2.2.4

Dividi $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.9

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ da $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ da $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ da $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Passaggio 2.2.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Risolvi $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 2.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.2.5

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.2.6

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 2.2.6.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 2.2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 2.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Dividi $16$ per $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.7

$- 16$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.2.1.9

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

Passaggio 5.2.1.10

Dividi $16$ per $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

Passaggio 5.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

Passaggio 5.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Somma $- 16$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Dividi $0$ per $2$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Passaggio 6.2.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{0}{2}}$

Passaggio 6.2.1.9

Dividi $0$ per $2$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- 0}$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{0}$

Passaggio 6.2.1.11

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 1, 1)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Dividi $16$ per $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

$- 16$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.1.9

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

Passaggio 7.2.1.10

Dividi $16$ per $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

Passaggio 7.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Somma $- 16$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (4) = - \frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9