Calcolo Esempi

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ è $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ dove $f (u) = \sqrt{u}$ e $g (u) = 5 - u^{6}$ .

$\sqrt{u} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

$\sqrt{u} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $5$ rispetto a $u$ è $0$ .

$\sqrt{u} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- u^{6}$ rispetto a $u$ è $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ .

$\sqrt{u} (0 - \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\sqrt{u} (0 - (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\sqrt{u} (0 - 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 4.1

Sottrai $6 u^{5}$ da $0$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $u^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.2.1

Sposta $u^{5}$ .

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.3

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.4

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.2.6.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2.6.2

Somma $10$ e $1$ .

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.3

Sposta $- 6$ alla sinistra di $u^{\frac{11}{2}}$ .

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.4

$5$ e $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.5

$\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ e $u^{6}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.6

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $u^{6}$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.7.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.7.3

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.7.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.7.5.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.7.5.2

Sottrai $1$ da $12$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

Passaggio 11.2.8

Per scrivere $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.9

$- 6 u^{\frac{11}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.11

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.12

Sottrai $u^{\frac{11}{2}}$ da $- 12 u^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3

Riordina i termini.

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$