Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Semplifica.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Semplifica ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Passaggio 1.2.2.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $x = \frac{1}{x^{3}}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica ogni termine in $x = \frac{1}{x^{3}}$ per $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.3.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ a $x$ in $y = \frac{1}{1}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $1$ per $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Passaggio 3.6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

$\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $1$ e per $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 3.8.2.2

Calcola $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ per $1$ e per $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.3

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Passaggio 3.8.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Passaggio 3.8.2.3.9

Sottrai $3$ da $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Passaggio 3.8.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.10.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Passaggio 3.8.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.10.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Passaggio 3.8.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Passaggio 3.8.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Passaggio 3.8.2.3.12

Somma $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ e $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Passaggio 3.8.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Passaggio 3.8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Passaggio 3.8.4.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.8.4.3

Dividi $1$ per $1$ .

$\ln (1)$

Passaggio 3.9

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4