Calcolo Esempi

$e^{x} \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $\cos (x) + \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.4

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.5.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.5.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 2.5.2.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 2.5.2.10

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.11

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 2.5.2.12

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 2.5.2.12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 2.5.2.12.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 2.5.2.13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.5.2.13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.5.2.14

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.14.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 2.5.2.14.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.5.2.14.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.14.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.15

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{x} \sin (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{3 π}{4}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.3

$e^{\frac{3 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $\frac{7 π}{4}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3

$e^{\frac{7 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{11 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $\frac{11 π}{4}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.3.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.4

$e^{\frac{11 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{15 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $x$ per $\frac{15 π}{4}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

Passaggio 4.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 4.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.4.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.4.2.4

$e^{\frac{15 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{19 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $x$ per $\frac{19 π}{4}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

Passaggio 4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.5.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.5.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5.2.4

$e^{\frac{19 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.6

Elenca tutti i punti.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5