Calcolo Esempi

$\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 4$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $6 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ e la cui somma è $b = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Riscrivi $8$ come $- 1$ più $9$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f' (x) = \frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f' (x) = \frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1 \cdot 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (1)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.10

Riscrivi $- (3 x + 1)$ come $- 1 (3 x + 1)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(3 x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$\frac{- 5}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 5}{1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$\frac{- 5}{\frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 5}{\frac{1}{3^{2}} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + \frac{9}{9}}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5}{\frac{1 + 9}{9}}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Somma $1$ e $9$ .

$\frac{- 5}{\frac{10}{9}}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 5 (\frac{9}{10})$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{9}{10}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9}{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$\frac{3 (3) - 4}{{(3)}^{2} + 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 - 4}{3^{2} + 1}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{5}{3^{2} + 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{9 + 1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{5}{10}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (1)}{10}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{9}{2}), (3, \frac{1}{2})$

Passaggio 5