Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 1.1.3.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.3.8

$- 3$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Passaggio 1.1.3.9

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.4

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Passaggio 2.2

Trova un fattore comune $x^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci $x^{\frac{1}{2}}$ per $u$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Moltiplica $3$ per $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.4.1.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Passaggio 2.4.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2, 2 u^{3}, 1$

Passaggio 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Passaggio 2.4.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 2.4.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4.2.6

Il minimo comune multiplo di $2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 2.4.2.7

I fattori di $u^{3}$ sono $u \cdot u \cdot u$ , che corrisponde a $u$ moltiplicato per i fattori $3$ volte.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 2.4.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $u^{3}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$u \cdot u \cdot u$

Passaggio 2.4.2.9

Semplifica $u \cdot u \cdot u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.9.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Passaggio 2.4.2.9.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.9.2.1

Moltiplica $u^{2}$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.9.2.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Passaggio 2.4.2.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u^{2 + 1}$

Passaggio 2.4.2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$u^{3}$

Passaggio 2.4.2.10

Il minimo comune multiplo di $2, 2 u^{3}, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 u^{3}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica per $2 u^{3}$ ciascun termine in $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ per $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.3

Moltiplica $u$ per $u^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.3.1

Sposta $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.3.2

Moltiplica $u^{3}$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.3.2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2 u^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{15}{2 u^{3}}$ nel numeratore.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Passaggio 2.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Moltiplica $0 (2 u^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Passaggio 2.4.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Passaggio 2.4.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 u^{4} = 15$

Passaggio 2.4.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u^{4} = 15$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u^{4} = 15$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Passaggio 2.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Passaggio 2.4.4.2.2.1.2

Dividi $u^{4}$ per $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Passaggio 2.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.3.1

Dividi $15$ per $3$ .

$u^{4} = 5$

Passaggio 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Passaggio 2.4.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = \sqrt[4]{5}$

Passaggio 2.4.4.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Passaggio 2.4.4.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Passaggio 2.5

Sostituisci $u$ per $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Passaggio 2.6.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Passaggio 2.6.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Passaggio 2.6.2.1.1.2

Semplifica.

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ come $\sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{5}$ come $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Passaggio 2.6.2.2.1.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.6.2.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.6.2.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.6.2.2.1.5

Riscrivi $5^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Passaggio 3.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Passaggio 3.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 3.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 4

Risolvi $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\sqrt{5}$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 4.1.2

Rimuovi le parentesi.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5