Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{12} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{4}{12}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \cdot x$

Passaggio 2.1.3.4

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Passaggio 2.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Passaggio 2.1.3.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Passaggio 2.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- x}{1}$

Passaggio 2.1.3.6.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot {(1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 - 6}{12}$

Passaggio 4.1.2.5

Sottrai $6$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 5}{12}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{5}{12}$

Passaggio 4.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ è $(1, - \frac{5}{12})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, - \frac{5}{12})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2}))$

Passaggio 4.3.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 4.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Passaggio 4.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{1 - 6}{12}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $6$ da $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 5}{12}$

Passaggio 4.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{5}{12}$

Passaggio 4.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ è $(- 1, - \frac{5}{12})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, - \frac{5}{12})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, - \frac{5}{12}), (- 1, - \frac{5}{12})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = {(- 1.1)}^{2} - 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = 1.21 - 1$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $1$ da $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 0.21$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.21$ .

$0.21$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.1$ , la derivata seconda è $0.21$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 1, 1)$ .

Decrescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = {(1.1)}^{2} - 1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = 1.21 - 1$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $1$ da $1.21$ .

$f'' (1.1) = 0.21$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.21$ .

$0.21$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $1.1$ , la derivata seconda è $0.21$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$ .

$(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$

Passaggio 10