Calcolo Esempi

$y = e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = e^{- 2 x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)$ .

$f' (x) = - 4 e^{- 2 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.3.2

Riordina i fattori in $- 4 e^{- 2 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 4 x e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x e^{- 2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- 2 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{- 2 x^{2}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.8.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $e^{- 2 x^{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}})$

Passaggio 2.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}})) - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 16 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.4

Riordina i fattori in $16 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $4 e^{- 2 x^{2}}$ da $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4 e^{- 2 x^{2}}$ da $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $4 e^{- 2 x^{2}}$ da $- 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) + 4 e^{- 2 x^{2}} (- 1) = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $4 e^{- 2 x^{2}}$ da $4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) + 4 e^{- 2 x^{2}} (- 1)$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ({(2 x)}^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 e^{- 2 x^{2}} (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{- 2 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{- 2 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{- 2 x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 2 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 e^{- 2 x^{2}} (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 4.1.2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.1.2.4

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.1.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ è $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.3.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.2.5

La risposta finale è $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ è $(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.6$ nell'espressione.

$f'' (- 0.6) = 16 {(- 0.6)}^{2} e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $16$ per $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

$5.76$ e $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.72$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.9

Dividi $5.76$ per $2.05443321$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Passaggio 6.2.1.11

Moltiplica $- 2$ per $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Passaggio 6.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Passaggio 6.2.1.13

$- 4$ e $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Passaggio 6.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $\frac{4}{e^{0.72}}$ da $2.80369299$ .

$f'' (- 0.6) = 0.85668397$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.85668397$ .

$0.85668397$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.6$ , la derivata seconda è $0.85668397$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 16 {(0)}^{2} e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 16 \cdot (0 e^{- 2 {(0)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $16$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{0}$

Passaggio 7.2.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 7.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.6$ nell'espressione.

$f'' (0.6) = 16 {(0.6)}^{2} e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $16$ per $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6

$5.76$ e $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.72$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9

Dividi $5.76$ per $2.05443321$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10

Eleva $0.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Passaggio 8.2.1.11

Moltiplica $- 2$ per $0.36$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Passaggio 8.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Passaggio 8.2.1.13

$- 4$ e $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Passaggio 8.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $\frac{4}{e^{0.72}}$ da $2.80369299$ .

$f'' (0.6) = 0.85668397$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.85668397$ .

$0.85668397$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.6$ , la derivata seconda è $0.85668397$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 10