Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 243$ .

$\frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 243$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 243) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 243$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $243$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $243$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $243$ .

$\frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.2.2

Somma $486 x$ e $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $486$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $486 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 486 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}})$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 243)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 243$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 (x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $x^{2} + 243$ da ${(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 243$ da ${(x^{2} + 243)}^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 243$ da $- 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 243$ da $(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 243]))$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{2} + 243$ da ${(x^{2} + 243)}^{4}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 243$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.9

Poiché $243$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $243$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.14

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Passaggio 3.16

$486$ e $\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2}) + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $486$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.2.2

Moltiplica $486$ per $243$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.1

Scomponi $1458$ da $- 1458 x^{2} + 118098$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.1.1

Scomponi $1458$ da $- 1458 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.3.1.2

Scomponi $1458$ da $118098$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 1458 (81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.3.1.3

Scomponi $1458$ da $1458 (- x^{2}) + 1458 (81)$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.3.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 9^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 3.17.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 9$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 243$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 243) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 243$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $243$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $243$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $243$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3.2.2

Somma $486 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$486 x = 0$

Passaggio 6.3

Dividi per $486$ ciascun termine in $486 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $486$ ciascun termine in $486 x = 0$ .

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $486$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{486}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $0$ per $486$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1458 (9 + 0) (9 + 0)}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $9 + 0$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.3

Eleva $9 + 0$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} {(9 + 0)}^{1})}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{1458 \cdot 9^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0 + 243)}^{3}}$

Passaggio 10.3.2

Somma $0$ e $243$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{243^{3}}$

Passaggio 10.3.3

Eleva $243$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{14348907}$

Passaggio 10.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $1458$ per $81$ .

$\frac{118098}{14348907}$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune di $118098$ e $14348907$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Scomponi $59049$ da $118098$ .

$\frac{59049 (2)}{14348907}$

Passaggio 10.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Scomponi $59049$ da $14348907$ .

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Passaggio 10.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Passaggio 10.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{243}$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 243}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 243}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 243}$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $0$ e $243$ .

$f (0) = \frac{0}{243}$

Passaggio 12.2.3

Dividi $0$ per $243$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 14