Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x ((x + 5) (x + 5)))$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x (x + 5) + 5 (x + 5)))$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)))$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5))$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25))$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 10 x + 25))$

Passaggio 1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x (x^{2} + 10 x + 25)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 10 x + 25))$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (x^{2} + 10 x + 25) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.7

Somma $2 x + 10$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.6.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1)$

Passaggio 1.1.6.9

Moltiplica $x^{2} + 10 x + 25$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + x^{2} + 10 x + 25)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (2 x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25)$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.6

Sposta $10$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (10 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.7

Moltiplica $10$ per $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 30 x + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.8

Somma $6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.9

Moltiplica $10$ per $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 30 x + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.10

Somma $30 x$ e $30 x$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 3 \cdot 25$

Passaggio 1.1.7.3.11

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 75$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 60 x + 75$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [75]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $60$ per $1$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 + \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $75$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $18 x + 60$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 60$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $18 x + 60$ .

$18 x + 60$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $18 x + 60 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$18 x + 60 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $60$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x = - 60$

Passaggio 2.3

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 x = - 60$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 x = - 60$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 60}{18}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $- 60$ .

$x = \frac{6 (- 10)}{18}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{10}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{10}{3}$ in $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{10}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (- \frac{10}{3}) {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10}{3}$ nel numeratore.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.3

$5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 5 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 15}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $- 10$ e $15$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{5}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{5^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.7

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{25}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 (\frac{25}{9})$

Passaggio 3.1.2.9

Moltiplica $- 10 (\frac{25}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.9.1

$- 10$ e $\frac{25}{9}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 10 \cdot 25}{9}$

Passaggio 3.1.2.9.2

Moltiplica $- 10$ per $25$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 250}{9}$

Passaggio 3.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{250}{9}$

Passaggio 3.1.2.11

La risposta finale è $- \frac{250}{9}$ .

$- \frac{250}{9}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{10}{3}$ in $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ è $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{10}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.4\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (- 3.4\overline{3}) = 18 (- 3.4\overline{3}) + 60$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $18$ per $- 3.4\overline{3}$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 61.8 + 60$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 61.8$ e $60$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 1.8$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.8$ .

$- 1.8$

Passaggio 5.3

Per $- 3.4\overline{3}$ , la derivata seconda è $- 1.8$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{10}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{10}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{10}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.2\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 18 (- 3.2\overline{3}) + 60$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $18$ per $- 3.2\overline{3}$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = - 58.2 + 60$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 58.2$ e $60$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 1.7\overline{9}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1.7\overline{9}$ .

$1.7\overline{9}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 3.2\overline{3}$ , la derivata seconda è $1.7\overline{9}$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{10}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{10}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ .

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

Passaggio 8