Calcolo Esempi

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (y)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ dove $f (y) = - y^{2} + 14 y$ e $g (y) = y^{2}$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ come $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.4

Moltiplica $y^{4}$ per $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.6.1

Sposta $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.6.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.9.1

Sposta $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.9.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.10

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.12

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.12.1

Sposta $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.12.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.13

Moltiplica $14$ per $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.3.2

Sottrai $14 y^{3}$ da $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $y^{4}$ da $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ e $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Passaggio 4

Poiché $- 28$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 28$ fuori dall'integrale.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Passaggio 6

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Passaggio 7

Poiché $196$ è costante rispetto a $y$ , sposta $196$ fuori dall'integrale.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Passaggio 9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Calcola $\frac{y^{4}}{4}$ per $7$ e per $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Passaggio 9.2.2

Calcola $\frac{y^{3}}{3}$ per $7$ e per $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.5

Somma $\frac{2401}{4}$ e $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.6

$- 28$ e $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.7

Moltiplica $- 28$ per $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.8

Elimina il fattore comune di $- 67228$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.8.1

Scomponi $4$ da $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.8.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.8.2.4

Dividi $- 16807$ per $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.9

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 9.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Passaggio 9.2.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.11.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 9.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 9.2.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Passaggio 9.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Passaggio 9.2.3.13

Somma $\frac{343}{3}$ e $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Passaggio 9.2.3.14

$196$ e $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Passaggio 9.2.3.15

Moltiplica $196$ per $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Passaggio 9.2.3.16

Per scrivere $- 16807$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Passaggio 9.2.3.17

$- 16807$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Passaggio 9.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Passaggio 9.2.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.19.1

Moltiplica $- 16807$ per $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Passaggio 9.2.3.19.2

Somma $- 50421$ e $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Passaggio 9.2.3.20

$π$ e $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Passaggio 9.2.3.21

Sposta $16807$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Forma decimale:

$V = 17600.24924296 \dots$

Passaggio 11