Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{2 \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \tan (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Passaggio 3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 (3 x^{2})}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{15 x^{2}}$

Passaggio 4

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $15 x^{2}$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $0$ in entrambi i lati, la funzione aumenta senza limite.

$\infty$