Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}}{e^{4 x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Passaggio 1.3

Poiché l'esponente $4 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{4 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} (4 \cdot 1)}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} \cdot 4}$

Passaggio 3.9

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{4 \cdot e^{4 x}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $4$ per $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{4 e^{4 x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{4 e^{4 x}}$

Passaggio 4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 e^{4 x})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 e^{4 x})}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{4 x}}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{3}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché l'esponente $4 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{4 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 5.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 5.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4}$

Passaggio 5.3.7

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{4 e^{4 x}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $2$ da $4 e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 e^{4 x}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Passaggio 7.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Passaggio 7.1.3

Poiché l'esponente $4 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{4 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 7.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 7.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 7.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 7.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4}$

Passaggio 7.3.7

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x}}$

Passaggio 9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{4 x}}$ tende a $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{3}{16} \cdot 0$

Passaggio 10.3

Moltiplica $\frac{3}{16}$ per $0$ .

$0$