Calcolo Esempi

$y = (z^{2} + e^{z}) \sqrt{z}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{z}$ come $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [(z^{2} + e^{z}) z^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z^{2} + e^{z}$ e $g (z) = z^{\frac{1}{2}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{d}{d z} [z^{\frac{1}{2}}] + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{1 - 2}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{\frac{- 1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(z^{2} + e^{z}) (\frac{1}{2} z^{- \frac{1}{2}}) + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{2}$ e $z^{- \frac{1}{2}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{z^{- \frac{1}{2}}}{2} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 8.2.2

Sposta $z^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [z^{2} + e^{z}]$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $z^{2} + e^{z}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ è $a^{z} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(z^{2} + e^{z}) \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z + e^{z})$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$z^{2} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

$z^{2}$ e $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z^{2}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.2

Sposta $z^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{z^{2} z^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $z^{2}$ per $z^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{z^{2 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{z^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.3.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + e^{z} \frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.4

$e^{z}$ e $\frac{1}{2 z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} (2 z) + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $z^{\frac{1}{2}}$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.5.1

Sposta $z$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z \cdot z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.5.2

Moltiplica $z$ per $z^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.5.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1} z^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.5.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $z^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot z^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.7

Per scrivere $2 z^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.8

$2 z^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 2 z^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{z^{\frac{3}{2}} + 4 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.3.11

Somma $z^{\frac{3}{2}}$ e $4 z^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}} + z^{\frac{1}{2}} e^{z}$

Passaggio 10.4

Riordina i termini.

$e^{z} z^{\frac{1}{2}} + \frac{5 z^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{e^{z}}{2 z^{\frac{1}{2}}}$