Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 9) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Sottrai $2 x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 27 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 27 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} (x^{2} - 27) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x^{2} - 27$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x^{2} - 27$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 27 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 27 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $27$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 27$

Passaggio 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{27}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

Passaggio 2.3.3.2.3.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x^{2} - 27) = 0$ vera.

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$ .

$0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (- 3 \sqrt{3}, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6.196152$ nell'espressione.

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} ({(- 6.196152)}^{2} - 27)}{{((- 6.196152) + 3)}^{2} {((- 6.196152) - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 6.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} (38.3922996 - 27)}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $27$ da $38.3922996$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} \cdot 11.3922996}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 6.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 6.196152$ e $3$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 3.196152)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $3$ da $- 6.196152$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 3.196152)}^{2} {(- 9.196152)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $- 3.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{10.2153876 {(- 9.196152)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 9.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{10.2153876 \cdot 84.5692116}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $38.3922996$ per $11.3922996$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{437.37657972}{10.2153876 \cdot 84.5692116}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $10.2153876$ per $84.5692116$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{437.37657972}{863.90727619}$

Passaggio 6.2.3.3

Dividi $437.37657972$ per $863.90727619$ .

$f' (- 6.196152) = 0.50627722$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $0.50627722$ .

$0.50627722$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 6.196152$ la derivata è $0.50627722$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5.196152, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.098076$ nell'espressione.

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} ({(- 4.098076)}^{2} - 27)}{{((- 4.098076) + 3)}^{2} {((- 4.098076) - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 4.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} (16.7942269 - 27)}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $27$ da $16.7942269$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} \cdot - 10.20577309}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 4.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 4.098076$ e $3$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 1.098076)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $3$ da $- 4.098076$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 1.098076)}^{2} {(- 7.098076)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $- 1.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{1.2057709 {(- 7.098076)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $- 7.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{1.2057709 \cdot 50.3826829}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $16.7942269$ per $- 10.20577309$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{- 171.39806911}{1.2057709 \cdot 50.3826829}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $1.2057709$ per $50.3826829$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{- 171.39806911}{60.74997299}$

Passaggio 7.2.3.3

Dividi $- 171.39806911$ per $60.74997299$ .

$f' (- 4.098076) = - 2.82136864$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 2.82136864$ .

$- 2.82136864$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 4.098076$ la derivata è $- 2.82136864$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 5.196152, - 3)$ .

Decrescente su $(- 3 \sqrt{3}, - 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2} ({(- \frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{((- \frac{3}{2}) + 3)}^{2} {((- \frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- \frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{2^{2}} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.7

Per scrivere $- 27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8

$- 27$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9 - 27 \cdot 4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.10.1

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9 - 108}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10.2

Sottrai $108$ da $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{- 99}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} \cdot (- 1 (\frac{99}{4}))}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.12.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{99}{4}))}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.12.2

$\frac{99}{4}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{99 {(- 1)}^{2}}{4} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.12.3

$\frac{99 {(- 1)}^{2}}{4}$ e ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{99 {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{99 {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.13.2.1

$99$ e $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{99 \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.2.2

${(- 1)}^{2}$ e $\frac{99 \cdot 3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{{(- 1)}^{2} (99 \cdot 3^{2})}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.13.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{1 \cdot 99 \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{1 \cdot 99 \cdot 9}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.3.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.13.3.3.1

Moltiplica $99$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{99 \cdot 9}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.3.3.2

Moltiplica $99$ per $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{891}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.13.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{891}{4}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.14

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{891}{4} \cdot \frac{1}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.15

Moltiplica $\frac{891}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.15.1

Moltiplica $\frac{891}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{4 \cdot 4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.15.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{- 3 + 6}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.6

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.7

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.9.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3 - 6}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.9.2

Sottrai $6$ da $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 9}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.11

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2})}$

Passaggio 8.2.2.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.12.1

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{9}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.12.2

$\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ e ${(\frac{9}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.13.2.1

$3^{2}$ e $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 9^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot {(3^{2})}^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.13.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 3^{2 \cdot 2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 3^{4}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2 + 4}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2.5

Somma $2$ e $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{6}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.2.6

${(- 1)}^{2}$ e $\frac{3^{6}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.13.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.3.3

Moltiplica $729$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.13.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.14

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{4}}$

Passaggio 8.2.2.15

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.2.2.16

Moltiplica $\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.16.1

Moltiplica $\frac{729}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 8.2.2.16.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{16}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{891}{16}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Passaggio 8.2.4.2

Scomponi $81$ da $- 891$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 (- 11)}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Passaggio 8.2.4.3

Scomponi $81$ da $729$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Passaggio 8.2.4.4

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Passaggio 8.2.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Passaggio 8.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 11 (\frac{1}{9})$

Passaggio 8.2.6

$- 11$ e $\frac{1}{9}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{9}$

Passaggio 8.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{11}{9}$

Passaggio 8.2.8

La risposta finale è $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{11}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 3, 0)$ .

Decrescente su $(- 3, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{{(\frac{3}{2})}^{2} ({(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{((\frac{3}{2}) + 3)}^{2} {((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{2^{2}} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5

Per scrivere $- 27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.6

$- 27$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{9 - 27 \cdot 4}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.8.1

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{9 - 108}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8.2

Sottrai $108$ da $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{- 99}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (- 1 (\frac{99}{4}))}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.10

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.10.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{99}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.10.2

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $\frac{99}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2} \cdot 4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.10.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2} \cdot 2^{2}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2 + 2}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.10.5

Somma $2$ e $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{4}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 99}{2^{4}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 99}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.13

Moltiplica $9$ per $99$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3 + 3 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3 + 6}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4.2

Somma $3$ e $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{9}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.6

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.7

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.9.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.9.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.11

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}$

Passaggio 9.2.2.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.12.1

$\frac{9^{2}}{2^{2}}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.12.2

$\frac{9^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ e ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.13.2.1

$9^{2}$ e $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{9^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{{(3^{2})}^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.13.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2 \cdot 2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{4} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{4 + 2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2.5

Somma $4$ e $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{6}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.2.6

${(- 1)}^{2}$ e $\frac{3^{6}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.13.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.3.3

Moltiplica $729$ per $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.13.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.14

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{4}}$

Passaggio 9.2.2.15

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 9.2.2.16

Moltiplica $\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.16.1

Moltiplica $\frac{729}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 9.2.2.16.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{16}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{891}{16}$ nel numeratore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Passaggio 9.2.4.2

Scomponi $81$ da $- 891$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 (- 11)}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Passaggio 9.2.4.3

Scomponi $81$ da $729$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Passaggio 9.2.4.4

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Passaggio 9.2.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Passaggio 9.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 11 (\frac{1}{9})$

Passaggio 9.2.6

$- 11$ e $\frac{1}{9}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{9}$

Passaggio 9.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{11}{9}$

Passaggio 9.2.8

La risposta finale è $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{11}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 3)$ .

Decrescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, 3 \sqrt{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.098076$ nell'espressione.

$f' (4.098076) = \frac{{(4.098076)}^{2} ({(4.098076)}^{2} - 27)}{{((4.098076) + 3)}^{2} {((4.098076) - 3)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $4.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{{4.098076}^{2} (16.7942269 - 27)}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2

Sottrai $27$ da $16.7942269$ .

$f' (4.098076) = \frac{{4.098076}^{2} \cdot - 10.20577309}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.3

Eleva $4.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Somma $4.098076$ e $3$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{7.098076}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $3$ da $4.098076$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{7.098076}^{2} \cdot {1.098076}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.3

Eleva $7.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{50.3826829 \cdot {1.098076}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.4

Eleva $1.098076$ alla potenza di $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{50.3826829 \cdot 1.2057709}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $16.7942269$ per $- 10.20577309$ .

$f' (4.098076) = \frac{- 171.39806911}{50.3826829 \cdot 1.2057709}$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $50.3826829$ per $1.2057709$ .

$f' (4.098076) = \frac{- 171.39806911}{60.74997299}$

Passaggio 10.2.3.3

Dividi $- 171.39806911$ per $60.74997299$ .

$f' (4.098076) = - 2.82136864$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $- 2.82136864$ .

$- 2.82136864$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 4.098076$ la derivata è $- 2.82136864$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(3, 3 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(3, 3 \sqrt{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3 \sqrt{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.196152$ nell'espressione.

$f' (6.196152) = \frac{{(6.196152)}^{2} ({(6.196152)}^{2} - 27)}{{((6.196152) + 3)}^{2} {((6.196152) - 3)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $6.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{{6.196152}^{2} (38.3922996 - 27)}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Sottrai $27$ da $38.3922996$ .

$f' (6.196152) = \frac{{6.196152}^{2} \cdot 11.3922996}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $6.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $6.196152$ e $3$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{9.196152}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $3$ da $6.196152$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{9.196152}^{2} \cdot {3.196152}^{2}}$

Passaggio 11.2.2.3

Eleva $9.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{84.5692116 \cdot {3.196152}^{2}}$

Passaggio 11.2.2.4

Eleva $3.196152$ alla potenza di $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{84.5692116 \cdot 10.2153876}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $38.3922996$ per $11.3922996$ .

$f' (6.196152) = \frac{437.37657972}{84.5692116 \cdot 10.2153876}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $84.5692116$ per $10.2153876$ .

$f' (6.196152) = \frac{437.37657972}{863.90727619}$

Passaggio 11.2.3.3

Dividi $437.37657972$ per $863.90727619$ .

$f' (6.196152) = 0.50627722$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $0.50627722$ .

$0.50627722$

Passaggio 11.3

In corrispondenza di $x = 6.196152$ la derivata è $0.50627722$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3 \sqrt{3}, \infty)$ .

Crescente su $(3 \sqrt{3}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 12

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 3 \sqrt{3}), (3 \sqrt{3}, \infty)$

Decrescente su: $(- 3 \sqrt{3}, - 3), (- 3, 0), (0, 3), (3, 3 \sqrt{3})$

Passaggio 13