Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x - 2 x^{- 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 2 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 4 - 2 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f' (x) = 4 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 4 + 4 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 x^{- 3} + 4$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{1}{x^{3}}) + 4$

Passaggio 1.1.4.2.2

$4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4}{x^{3}} = - 4$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ per $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 = - 4 x^{3}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 x^{3} = 4$ .

$- 4 x^{3} = 4$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x^{3} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Passaggio 2.5.3.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.5.3.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 (x^{3}) - 4 (1)$ .

$- 4 (x^{3} + 1) = 0$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$- 4 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Passaggio 2.5.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 2.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5.6

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.6.2

Risolvi $x^{2} - x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}} + 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{- 8} + 4$

Passaggio 6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (1)}{- 8} + 4$

Passaggio 6.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Passaggio 6.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Passaggio 6.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} + 4$

Passaggio 6.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 8}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $- 1$ e $8$ .

$f' (- 2) = \frac{7}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{7}{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- \frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Passaggio 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Passaggio 7.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}} + 4$

Passaggio 7.2.1.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{2^{3}}} + 4$

Passaggio 7.2.1.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{8}} + 4$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 8) + 4$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 8 + 4$

Passaggio 7.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 32 + 4$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 32$ e $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 28$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 28$ .

$- 28$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $- 28$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{4}{{(1)}^{3}} + 4$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4}{1} + 4$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (1) = 4 + 4$

Passaggio 8.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$f' (1) = 8$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $8$ .

$8$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $8$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 0)$

Passaggio 10