Calcolo Esempi

$e^{2 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 1.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2

Sposta $- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $\ln (2 e^{2 x})$ come $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 2.4.2

Espandi $\ln (e^{2 x})$ spostando $2 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 2.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Passaggio 2.5

Espandi il lato destro.

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Passaggio 2.5.1

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Passaggio 2.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Passaggio 2.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $2 x$ e $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Passaggio 2.7

Sottrai $\ln (2)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - \ln (2)$

Passaggio 2.8

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \ln (2)$ e semplifica.

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Passaggio 2.8.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \ln (2)$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.8.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{2 x} + e^{- x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{\ln (2)}{3}$ a $x$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

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Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Semplifica $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.7.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Passaggio 4.1.2.9

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Passaggio 4.1.2.10

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

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Passaggio 4.1.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 4.1.2.11.2

Moltiplica $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ per $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 4.1.2.12

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5