Calcolo Esempi

$\ln (x) - 2 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x} - 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1}{x} - 4 x$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 4 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x + \frac{1}{x}$ .

$- 4 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x + \frac{1}{x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x + \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- 4 x + \frac{1}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $- 4 x + \frac{1}{x} = 0$ per $x$ .

$- 4 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$- 4 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 4 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 x^{2} + 1 = 0 x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$- 4 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 1$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 2.4.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.4.4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.4.4.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 2.4.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\ln (x) - 2 x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $x$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{4})$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (\frac{1}{2}) + 2 (- 1) \frac{1}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\ln (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{1}{2}) - 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.1.2.5

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $x$ .

$\ln (- \frac{1}{2}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Il logaritmo naturale di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\ln (0) - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{2}, \ln (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2})$

Passaggio 5